វិសមភាពភីដូDGg34xns:id VvАТОкеңOo ып:и80 ар Ggnt_ H дык00h

វិសមភាពភីដូDGg34xns:id VvАТОкеңOo ып:и80 ар Ggnt_ H дык00h

ក្នុងធរណីមាត្រ វិសមភាពភីដូ (Pedoe's inequality) ត្រូវបានគេយកឈ្មោះតាមអ្នកគណិតវិទូ និង ធរណីមាត្រវិទូជនជាតិអង់គ្លេសឈ្មោះ ដាន្យែល ភីដូ (Daniel Pedoe)។ វិសមភាពនេះពោលថា ប្រសិនបើ a, b, និង c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណដែលមានក្រលាផ្ទៃ f និង A, B, និង C គឺជារង្វាស់នៃជ្រុងនៃត្រីកោណដែលមានក្រលាផ្ទៃ F នោះគេបាន

{\\displaystyle \\color {Violet}A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\\geq 16Ff\\,}

ហើយវិសមភាពនេះក្លាយជាសមភាពលុះត្រាតែត្រីកោណទាំងពីរដូចគ្នា។

ចូរកត់សំគាល់ថាកន្សោមនៅអង្គខាងធ្វេងនៃវិសមភាពគឺមិនត្រឹមតែស៊ីមេទ្រីក្រោមចំលាស់ទាំង៦នៃសំនុំនៃគូ ${\\displaystyle \\{(A,a),(B,b),(C,c)\\}\\,}$ នោះទេ ថែមទាំង(ប្រហែលជាមិនច្បាស់លាស់ទេ) វានៅដដែល(មិនផ្លាស់ប្តូរ) ប្រសិនបើ a អាចប្តូរជាមួយនឹង A, b អាចប្តូរជាមួយនឹង B ហើយ c អាចប្តូរជាមួយនឹង C បាន។ ម្យ៉ាងវិញទៀត វាជាអនុគមន៍ស៊ីមេទ្រីនៃគូត្រីកោណ។

វិសមភាពភីដូជាវិសមភាពទូទៅនៃវិសមភាពវេតស្សឹនបុក (Weitzenböck's inequality)។

សំរាយបញ្ជាក់[កែប្រែ]

តាមរូបមន្តហេរុងចំពោះត្រីកោណទាំងពីរគេបាន

{\\displaystyle {\\begin{aligned}16f^{2}&=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\\\&\\Rightarrow 16f^{2}+2a^{4}+2b^{4}+2c^{4}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\\end{aligned}}}

{\\displaystyle {\\begin{aligned}16F^{2}&=(A+B+C)(A+B-C)(A-B+C)(B+C-A)=(A^{2}+B^{2}+C^{2})^{2}-2(A^{4}+B^{4}+C^{4})\\\\&\\Rightarrow 16F^{2}+2A^{4}+2B^{4}+2C^{4}=(A^{2}+B^{2}+C^{2})^{2}\\end{aligned}}}

ដោយប្រើវិសមភាពកូស៊ី គេបាន

{\\displaystyle {\\begin{aligned}16Ff+2A^{2}a^{2}+2B^{2}b^{2}+2C^{2}c^{2}&\\leq {\\sqrt {(16F^{2}+2A^{4}+2B^{4}+2C^{4})}}{\\sqrt {(16f^{2}+2a^{4}+2b^{4}+2c^{4})}}\\\\&\\leq {\\sqrt {(A^{2}+B^{2}+C^{2})^{2}}}{\\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}\\\\&\\leq (A^{2}+B^{2}+C^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2})\\\\&\\leq A^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+B^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\\end{aligned}}}

ជាលទ្ធផល

{\\displaystyle {\\begin{aligned}16Ff&\\leq A^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2a^{2}A^{2}+B^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2b^{2}B^{2}+C^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2c^{2}C^{2}\\\\&\\leq A^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}-2a^{2})+B^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}-2b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}-2c^{2})\\\\&\\leq A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\\end{aligned}}}

ដូចនេះ

{\\displaystyle \\therefore \\quad \\color {Violet}A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\\geq 16Ff\\,}

វិសមភាពក្លាយជាសមភាពលុះត្រាតែ

{\\displaystyle {\\frac {a}{A}}={\\frac {b}{B}}={\\frac {c}{C}}={\\sqrt {\\frac {f}{F}}}}

តំនភ្ជាប់ក្រៅ[កែប្រែ]

វិសមភាពភីដូ (Pedoe's inequality) (អង់គ្លេស)

Z Ff MmяCc Zzo Pap 789AaGz Bs T50634l Uu Kkyd 89AWw

This page is only for definition, need detailed information please check here